Рассмотрим прямой брус постоянного сечения длиной (рис. 1.5), заделанный одним концом и на­груженный на другом конце растягивающей силой Р. Под действием силы Р брус удлиняется на некото­рую величину , которая называется полным (или абсолютным) удлинением (абсолютной продольной деформацией).

Рис. 1.5. Деформация бруса

В любых точках рассматриваемого бруса имеется одинаковое напряжённое состояние и, следова­тельно, линейные деформации для всех его точек одинаковы. По­этому значение е можно определить как отношение абсолютного удлинения к первоначальной длине бруса , т.е.

Брусья из различных материалов удлиняются различно. Для случаев, когда напряжения в брусе не превышают предела пропорциональности, опытом установлена следующая зависимость:

где N- продольная сила в поперечных сечениях бруса; F- площадь поперечного сечения бруса; Е- ко­эффициент, зависящий от физических свойств материала.

Учитывая, что нормальное напряжение в поперечном сечении бруса σ = N/F, получаем ε = σ/Е. От­куда σ = εЕ.

Абсолютное удлинение бруса выражается формулой

Более общей является следующая формулировка закона Гука: относительная продольная деформа­ция прямо пропорциональна нормальному напряжению. В такой формулировке закон Гука использует­ся не только при изучении растяжения и сжатия брусьев, но и в других разделах курса.

Величина Е называется модулем упругости первого рода. Это физическая постоянная материала, характеризующая его жёсткость. Чем больше значение Е, тем меньше при прочих равных условиях продольная деформация. Модуль упругости выражается в тех же единицах, что и напряжение, т.е. в пас­калях (Па) (сталь Е=2* 10 5 МПа, медь Е= 1 * 10 5 МПа).

Произведение EF называется жёсткостью поперечного сечения бруса при растяжении и сжатии.

Кроме продольной деформации при действии на брус сжимающей или растягивающей силы наблю­дается также поперечная деформация. При сжатии бруса поперечные размеры его увеличиваются, а при растяжении - уменьшаются. Если поперечный размер бруса до приложения к нему сжимающих сил Р обозначить В, а после приложения этих сил В - ∆В, то величина ∆В будет обозначать абсолютную по­перечную деформацию бруса.

Отношение является относительной поперечной деформацией.

Опыт показывает, что при напряжениях, не превышающих предела упругости, относительная попе­речная деформация прямо пропорциональна относительной продольной деформации, но имеет обрат­ный знак:

Коэффициент пропорциональности ц зависит от материала бруса. Он называется коэффициентом поперечной деформации (или коэффициентом Пуассона ) и представляет собой отношение относитель­ной поперечной деформации к продольной, взятое по абсолютной величине, т.е. коэффициент Пуассона наряду с модулем упругости Е характеризует упругие свойства материала.

Коэффициент Пуассона определяется экспериментально. Для различных материалов он имеет зна­чения от нуля (для пробки) до величины, близкой к 0,50 (для резины и парафина). Для стали коэффици­ент Пуассона равен 0,25...0,30; для ряда других металлов (чугуна, цинка, бронзы, меди) он

имеет значе­ния от 0,23 до 0,36.

Рис. 1.6. Брус переменного поперечного сечения

Определение величины поперечного сечения стержня выполняется на основании условия прочно­сти

где [σ] - допускаемое напряжение.

Определим продольное перемещение δ а точки а оси бруса, растянутого си­лой Р( рис. 1.6).

Оно равно абсолютной деформации части бруса ad, заключённой между заделкой и сечением, проведённым через точку d, т.е. продольная деформация бруса определяется по формуле

Эта формула применима лишь, когда в пределах всего участка длиной продольные силы N и жёсткости EF попе­речных сечений бруса постоянны. В рассматриваемом случае на участке ab продольная сила N равна нулю (собственный вес бруса не учитываем), а на участке bd она равна Р, кроме того, площадь поперечного сечения бруса на участке ас отличается от площади сечения на участке cd. Поэтому продольную деформацию участка ad следует определять как сумму продольных деформаций трёх участков ab, Ьс и cd, для каждого из которых значения N и EF постоянны по всей его длине:

Продольные силы на рассматриваемых участках бруса

Следовательно,

Аналогично можно определить перемещения δ любых точек оси бруса, а по их значениям построить эпюру продольных перемещений (эпюруδ), т.е. график, изображающий изменение этих перемещений по длине оси бруса.

4.2.3. Условия прочности. Расчет на жёсткость.

При проверке напряжений площади поперечных сечений F и продольные силы известны и расчёт заключается в вычислении расчётных (фактических) напряжений σ в характерных сечениях элементов. Полученное при этом наибольшее напряжение сравнивают затем с допускаемым:

При подборе сечений определяют требуемые площади [F] поперечных сечений элемента (по из­вестным продольным силам N и допускаемому напряжению [σ]). Принимаемые площади сечений F должны удовлетворять условию прочности, выраженному в следующем виде:

При определении грузоподъёмности по известным значениям F и допускаемому напряжению [σ] вычисляют допускаемые величины [N] продольных сил:

По полученным значениям [N] за­тем определяются допускаемые величины внешних нагрузок [P ].

Для этого случая условие прочности имеет вид

Величины нормативных коэффициентов запаса прочности устанавливаются нормами. Они зависят от класса конструкции (капитальная, временная и т.п.), намечаемого срока её эксплуатации, нагрузки (статическая, циклическая и т.п.), возможной неоднородности изготовления материалов (например, бе­тона), от вида деформации (растяжение, сжатие, изгиб и т.д.) и других факторов. В ряде случаев прихо­дится снижать коэффициент запаса в целях уменьшения веса конструкции, а иногда увеличивать коэф­фициент запаса - при необходимости учитывать износ трущихся частей машин, коррозию и загнивание материала.

Величины нормативных коэффициентов запаса для различных материалов, сооружений и нагрузок имеют в большинстве случаев значения: - 2,5...5 и - 1,5...2,5.

Под проверкой жёсткости элемента конструкции, находящегося в состоянии чистого растяжения - сжатия, понимается поиск ответа на вопрос: достаточны ли значения жёсткостных характеристик эле­мента (модуля упругости материала Е и площади поперечного сечения F), чтобы максимальное из всех значений перемещений точек элемента, вызванных внешними силами, u max не превысило некоторого заданного предельного значения [u]. Считается, что при нарушении неравенства u max < [u] конструкция переходит в предельное состояние.

Изменение размеров, объема и возможно формы тела, при внешнем воздействии на него, называют в физике деформацией. Тело деформируется при растяжении, сжатии или (и), при изменении его температуры.

Деформация появляется тогда, когда разные части тела совершают разные перемещения. Так, например, если резиновый шнур тянуть за концы, то разные его части сместятся относительно друг друга, и шнур окажется деформированным (растянется, удлинится). При деформации изменяются расстояния между атомами или молекулами тел, поэтому возникают силы упругости.

Пусть прямой брус, длиной и, имеющий постоянное сечение, закреплен одним концом. За другой конец его растягивают, прикладывая силу (рис.1). При этом тело удлиняется на величину , которую называют абсолютным удлинением (или абсолютной продольной деформацией).

В любой точке рассматриваемого тела имеется одинаковое напряженное состояние. Линейную деформацию () при растяжении и сжатии подобных объектов называют относительным удлинением (относительной продольной деформацией):

Относительная продольная деформация

Относительная продольная деформация - величина безразмерная. Как правило относительное удлинение много меньше единицы ().

Деформацию удлинения обычно считают положительной, а деформацию сжатия отрицательной.

Если напряжение в брусе не превышает некоторого предела, экспериментально установлена зависимость:

где - продольная сила в поперечных сечениях бруса; S - площадь поперечного сечения бруса; E - модуль упругости (модуль Юнга) - физическая величина, характеристика жёсткости материала. Принимая о внимание то, что нормальное напряжение в поперечном сечении ():

Абсолютное удлинение бруса можно выразить как:

Выражение (5) является математической записью закона Р. Гука, который отражает прямую зависимость между силой и деформацией при небольших нагрузках.

В следующей формулировке, закон Гука используется не только при рассмотрении растяжения (сжатия) бруса: Относительная продольная деформация прямо пропорциональна нормальному напряжению.

Относительная деформация при сдвиге

При сдвиге относительную деформацию характеризуют при помощи формулы:

где - относительный сдвиг; - абсолютный сдвиг слоев параллельных по отношению друг к другу; h — расстояние между слоями; - угол сдвига.

Закон Гука для сдвига записывают как:

где G - модуль сдвига, F - сила, вызывающая сдвиг, параллельная сдвигающимся слоям тела.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание	Каково относительное удлинение стального стержня, если его верхний конец закреплен неподвижно (рис.2)? Площадь поперечного сечения стержня . К нижнему концу стержня прикреплен груз массой кг. Считайте, что собственная масса стержня много меньше, чем масса груза.
Решение	Сила, которая заставляет стержень растягиваться, равна силе тяжести груза, который находится на нижнем конце стержня. Эта сила действует вдоль оси стержня. Относительное удлинение стержня найдем как: где . Прежде чем проводить расчет, следует найти в справочниках модуль Юнга для стали. Па.
Ответ

ПРИМЕР 2

Задание

Нижнее основание металлического параллелепипеда с основанием в виде квадрата со стороной a и высотой h закреплено неподвижно. На верхнее основание параллельно основанию действует сила F (рис.3). Какова относительная деформация сдвига ()? Модуль сдвига (G) считайте известным.

План лекции

1. Деформации, закон Гука при центральном растяжении-сжатии стержней.

2. Механические характеристики материалов при центральном растяжении и сжатии.

Рассмотрим стержневой элемент конструкции в двух состояниях (см. рисунок 25):

Внешняя продольная сила F отсутствует, начальная длина стержня и его поперечный размер равны соответственно l и b , площадь сечения А одинакова по всей длине l (внешний контур стержня показан сплошными линиями);

Внешняя продольная растягивающая сила, направленная вдоль центральной оси, равна F , длина стержня получила приращение Δl , при этом его поперечный размер уменьшился на величину Δb (внешний контур стержня в деформированном положении показан пунктирными линиями).

l Δl

Рисунок 25. Продольно-поперечная деформация стержня при его центральном растяжении.

Приращение длины стержня Δl называется его абсолютной продольной деформацией, величина Δb – абсолютной поперечной деформацией. Величина Δl может трактоваться как продольное перемещение (вдоль оси z) концевого поперечного сечения стержня. Единицы измерения Δl и Δb те же, что и начальные размеры l и b (м, мм, см). В инженерных расчетах применяется следующее правило знаков для Δl : при растяжении участка стержня происходит увеличение его длины и величина Δl положительна; если же на участке стержня с начальной длиной l возникает внутренняя сжимающая сила N , то величина Δl отрицательна, т. к. происходит отрицательное приращение длины участка.

Если абсолютные деформации Δl и Δb отнести к начальным размерам l и b , то получим относительные деформации:

– относительная продольная деформация;

– относительная поперечная деформация.

Относительные деформации и являются безразмерными (как правило,

очень малыми) величинами, их именуют обычно е. о. д. – единицами относительных деформаций (например, ε = 5,24·10 -5 е. о. д.).

Абсолютное значение отношения относительной продольной деформации к относительной поперечной деформации является очень важной константой материала, называемой коэффициентом поперечной деформации или коэффициентом Пуассона (по фамилии французского ученого)

Как видно коэффициент Пуассона количественно характеризует соотношение между величинами относительной поперечной деформацией и относительной продольной деформацией материала стержня при приложении внешних сил вдоль одной оси. Значения коэффициента Пуассона определяются экспериментально и для различных материалов приводятся в справочниках. Для всех изотропных материалов значения лежит в пределах от 0 до 0,5 (для пробки близко к 0, для каучука и резины близко к 0,5). В частности, для прокатных сталей и алюминиевых сплавов в инженерных расчетах обычно принимается , для бетона .

Зная значение продольной деформации ε (например, в результате замеров при проведении экспериментов) и коэффициент Пуассона для конкретного материала (который можно взять из справочника) можно вычислить значение относительной поперечной деформации

где знак минус свидетельствует о том, что продольные и поперечные деформации всегда имеют противоположные алгебраические знаки (если стержень удлиняется на величину Δl растягивающей силой, то продольная деформация положительна, т. к. длина стержня получает положительное приращение, но при этом поперечный размер b уменьшается, т. е. получает отрицательное приращение Δb и поперечная деформация отрицательна; если же стержень будет сжиматься силой F , то, наоборот, продольная деформация станет отрицательной, а поперечная – положительной).

Внутренние усилия и деформации, возникающие в элементах конструкций под действием внешних нагрузок, представляют собой единый процесс, в котором все факторы взаимосвязаны между собой. Прежде всего, нас интересует взаимосвязь между внутренними усилиями и деформациями, в частности, при центральном растяжении-сжатии стержневых элементов конструкций. При этом, как и выше, будем руководствоваться принципом Сен-Венана: распределение внутренних усилий существенно зависит от способа приложения внешних сил к стержню лишь вблизи места нагружения (в частности, при приложении сил к стержню через малую площадку), а в частях, достаточно удаленных от мест

приложения сил распределение внутренних усилий зависит только от статического эквивалента этих сил, т. е. при действии растягивающих или сжимающих сосредоточенных сил будем считать, что в большей части объема стержня распределение внутренних сил будет равномерным (это подтверждается многочисленными экспериментами и опытом эксплуатации конструкций).

Английским ученым Робертом Гуком еще в 17-м веке была установлена прямая пропорциональная (линейная) зависимость (закон Гука) абсолютной продольной деформации Δl от растягивающей (или сжимающей) силы F . В 19-м веке английским ученым Томасом Юнгом сформулирована идея о том, что для каждого материала существует постоянная величина (названная им модулем упругости материала), характеризующая его способность сопротивляться деформированию при действии внешних сил. При этом Юнг первый указал на то, что линейный закон Гука справедлив только в определенной области деформирования материала, а именно – при упругих его деформациях .

В современном представлении применительно к одноосному центральному растяжению-сжатию стержней закон Гука используется в двух видах.

1) Нормальное напряжение в поперечном сечении стержня при центральном растяжении прямо пропорционально его относительной продольной деформации

, (1-й вид закона Гука),

где Е – модуль упругости материала при продольных деформациях, значения которого для различных материалов определены экспериментальным путем и занесены в справочники, которыми технические специалисты пользуются при проведении различных инженерных расчетов; так, для прокатных углеродистых сталей, широко применяемых в строительстве и машиностроении ; для алюминиевых сплавов ; для меди ; для других материалов значение Е всегда можно найти в справочниках (см., например, «Справочник по сопротивлению материалов» авторов Писаренко Г.С. и др.). Единицы измерения модуля упругости Е те же, что и единицы измерения нормальных напряжений, т. е. Па , МПа , Н/мм 2 и др.

2) Если в записанном выше 1-м виде закона Гука нормальное напряжение в сечении σ выразить через внутреннюю продольную силу N и площадь поперечного сечения стержня А , т. е. , а относительную продольную деформацию – через начальную длину стержня l и абсолютную продольную деформацию Δl , т. е. , то после простых преобразований получим формулу для практических расчетов (продольная деформация прямо пропорциональна внутренней продольной силе)

(2-й вид закона Гука). (18)

Из этой формулы следует, что с увеличением значения модуля упругости материала Е абсолютная продольная деформация стержня Δl уменьшается. Таким образом, сопротивляемость элементов конструкций деформациям (их жесткость) можно увеличить путем применения для них материалов с более высокими значениями модуля упругости Е . Среди широко применяемых в строительстве и машиностроении конструкционных материалов высоким значением модуля упругости Е обладают стали. Диапазон изменения величины Е для разных марок сталей небольшой: (1,92÷2,12)·10 5 МПа . У алюминиевых сплавов, например, величина Е примерно в три раза меньше, чем у сталей. Поэтому для

конструкций, к жесткости которых предъявляются повышенные требования, предпочтительными материалами являются стали.

Произведение называют параметром жесткости (или просто жесткостью) сечения стержня при его продольных деформациях (единицы измерения продольной жесткости сечения – Н , кН, МН ). Величина с = Е·А/l называется продольной жесткостью стержня длиной l (единицы измерения продольной жесткости стержня с – Н/м , кН/м ).

Если стержень имеет несколько участков (n ) с переменной продольной жесткостью и сложной продольной нагрузкой (функция внутренней продольной силы от координаты z сечения стержня), то суммарная абсолютная продольная деформация стержня определится по более общей формуле

где интегрирование проводится в пределах каждого участка стержня длиной , а дискретное суммирование – по всем участкам стержня от i = 1 до i = n .

Закон Гука широко применяется в инженерных расчетах конструкций, поскольку большинство конструкционных материалов в процессе эксплуатации могут воспринимать весьма значительные напряжения, не разрушаясь в пределах упругих деформаций.

При неупругих (пластических или упруго-пластических) деформациях материала стержня прямое применение закона Гука неправомерно и, следовательно, вышеприведенные формулы использовать нельзя. В этих случаях следует применять другие расчетные зависимости, которые рассматриваются в специальных разделах курсов «Сопротивление материалов», «Строительная механика», «Механика твердого деформируемого тела», а также в курсе «Теория пластичности».

Рассмотрим прямой стержень постоянного поперечного сечения, жестко закрепленный сверху. Пусть стержень имеет длину и нагружен растягивающей силой F . От действия этой силы длина стержня увеличивается на некоторую величину Δ (рис.9.7,а).

При сжатии стержня такой же силой F длина стержня сократится на такую же величину Δ (рис.9.7,б).

Величина Δ , равная разности между длинами стержня после деформации и до деформации, называется абсолютной линейной деформацией (удлинением или укорочением) стержня при его растяжении или сжатии.

Отношение абсолютной линейной деформации Δ к первоначальной длине стержня называется относительной линейной деформацией и обозначается буквой ε илиε x ( где индекс x указывает направление деформации). При растяжении или сжатии стержня величину ε просто называют относительной продольной деформацией стержня. Она определяется по формуле:

Многократные исследования процесса деформирования растянутого или сжатого стержня в упругой стадии, подтвердили существование прямой пропорциональной зависимости между нормальным напряжением и относительной продольной деформацией. Эта зависимость называется законом Гука и имеет вид:

Величина E называется модулем продольной упругости или модулем первого рода. Она является физической постоянной (константой) для каждого вида материала стержня и характеризует его жесткость. Чем больше величина E , тем меньше будет продольная деформация стержня. Величина E измеряется в тех же единицах, что и напряжение, то есть в Па , МПа , и тому подобное. Величины модуля упругости содержатся в таблицах справочной и учебной литературы. Например, величина модуля продольной упругости стали принимается равной E = 2∙10 5 МПа , а древесины

E = 0,8∙10 5 МПа.

При расчете стержней на растяжение или сжатие, часто возникает необходимость определения величины абсолютной продольной деформации , если известна величина продольной силы, площадь поперечного сечения и материал стержня. Из формулы (9.8) найдем: . Заменим в этом выражении ε его значением из формулы (9.9). В результате получим = . Если использовать формулу нормального напряжения , тополучим окончательную формулу для определения абсолютной продольной деформации:

Произведение модуля продольной упругости на площадь поперечного сечения стержня называется его жесткостью при растяжении или сжатии.

Анализируя формулу (9.10) сделаем существенный вывод: абсолютная продольная деформация стержня при растяжении (сжатия) прямо пропорциональная произведению продольной силы на длину стержня и обратно пропорциональная его жесткости .

Заметим, что формула (9.10) может быть использована в том случае, когда поперечное сечение стержня и продольная сила имеют постоянные значения по всей его длине. В общем случае, когда стержень имеет ступенчато переменную жесткость и загружен по длине несколькими силами, нужно разделить его на участки и определить абсолютные деформации каждого из них по формуле (9.10).

Алгебраическая сумма абсолютных деформаций каждого участка будет равняться абсолютной деформации всего стержня, то есть:

Продольные деформации стержня от действия равномерно распределенной нагрузки вдоль его оси (например, от действия собственного веса), определяется следующей формулой, которую приводим без доказательства:

В случае растяжения или сжатия стержня, кроме продольных деформаций возникают также поперечные деформации, как абсолютные, так и относительные. Обозначим через b размер поперечного сечения стержня до деформации. При растяжении стержня силой F этот размер уменьшится на величину Δb , которая является абсолютной поперечной деформацией стержня. Эта величина имеет отрицательный знак.При сжатии, напротив, абсолютная поперечная деформация будет иметь положительный знак (рис. 9.8).

9. Абсолютная и относительная деформация при растяжении (сжатии). Коэффициент Пуассона.

Если под действием силы брус длиной изменил свою продольную величину на , то эта величина называется абсолютной продольной деформацией (абсолютное удлинение или укорочение). При этом наблюдается и поперечная абсолютная деформация .

Отношение называется относительной продольной деформацией, а отношение - относительной поперечной деформацией.

Отношение называется коэффициентом Пуассона, который характеризует упругие свойства материала.

Коэффициент Пуассона имеет значение . (для стали он равен )

10. Сформулировать закон Гука при растяжении (сжатии).

I форма. В поперечных сечениях бруса при центральном растяжении (сжатии) нормальные напряжения равны отношению продольной силы к площади поперечного сечения:

II форма. Относительная продольная деформация прямо пропорциональна нормальному напряжению , откуда .

11. Как определяются напряжения в поперечных и наклонных сечениях бруса?

– сила, равная произведению напряжения на площадь наклонного сечения :

12. По какой формуле можно определить абсолютное удлинение (укорочение) бруса?

Абсолютное удлинение (укорочение) бруса (стержня) выражается формулой:

, т.е.

Учитывая, что величина представляет собой жесткость поперечного сечения бруса длиной можно сделать вывод: абсолютная продольная деформация прямо пропорциональна продольной силе и обратно пропорциональна жесткости поперечного сечения. Этот закон впервые сформулировал Гук в 1660 году.

13. Как определяются температурные деформации и напряжения?

При повышении температуры у большинства материалов механические характеристики прочности уменьшаются, а при понижении температуры – увеличиваются. Например, у стали марки Ст3 при и ;

при и , т.е. .

Удлинение стержня при нагревании определяется по формуле , где - коэффициент линейного расширения материала стержня, - длина стержня.

Возникающее в поперечном сечении нормальное напряжение . При понижении температуры происходит укорочение стержня и возникают напряжения сжатия.

14. Дать характеристику диаграммы растяжения (сжатия).

Механические характеристики материалов определяются путем испытаний образцов и построением соответствующих графиков, диаграмм. Наиболее распространенным является статическое испытание на растяжение (сжатие).

Предел пропорциональности (до этого предела справедлив закон Гука);

Предел текучести материала;

Предел прочности материала;

Разрушающее (условное) напряжение;

Точка 5 соответствует истинному разрушающему напряжению.

1-2 площадка текучести материала;

2-3 зона упрочнения материала;

и - величина пластической и упругой деформации.

Модуль упругости при растяжении (сжатии), определяемый как: , т.е. .

15. Какие параметры характеризуют степень пластичности материала?

Степень пластичности материала может быть охарактеризовано величинами:

Остаточным относительным удлинением – как отношение остаточной деформации образца к первоначальной его длине:

где - длина образца после разрыва. Величина для различных марок стали находится в пределах от 8 до 28 %;

Остаточным относительным сужением – как отношение площади поперечного сечения образца в месте разрыва к первоначальной площади:

где - площадь поперечного сечения разорванного образца в наиболее тонком месте шейки. Величина находится в пределах от нескольких процентов для хрупкой высокоуглеродистой стали до 60 % для малоуглеродистой стали.

16. Задачи, решаемые при расчете на прочность при растяжении (сжатии).